如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=
3
，AD=CD=1．
（1）求證：BD⊥AA1；
（2）若E為棱BC上的一點，且AE∥平面DCC1D1，求線段BE的長度．
分析：（1）取AC的中點O，易證得B、O、D三點共線，進而BD⊥AC，由平面AA1C1C⊥平面ABCD，結合面面垂直的性質定理可得BD⊥平面AA1C1C，再由線面垂直的性質得到BD⊥AA1；
（2）由AE∥平面DCC1D1，結合線面平行的性質定理可得AE∥CD，結合已知及等邊三角形三線合一，可得E為BC的中點，進而得到線段BE的長度．
解答：證明：（1）取AC的中點O，連接DO，BO
由AD=CD，AB=BC可得
DO⊥AC，BO⊥AC，
故B、O、D三點共線
即BD⊥AC，
又∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD
∴BD⊥平面AA1C1C
又∵AA1?平面AA1C1C
∴BD⊥AA1；
解：（2）∵AB=BC=CA=
3
，AD=CD=1
故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC為等邊三角形
∵AE∥平面DCC1D1，
AE?平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC1D1=CD
故AE∥CD，故∠CAE=30°
根據(jù)等邊三角形三線合一，可得AE為△ABC中BC邊上的中線
故BE=
1
2
BC=
3
2
點評：本題考查的知識點是面面垂直的性質定理，線面平行的性質定理，（1）的關鍵是證明BOD三點共線，（2）的關鍵是分析出AE是正三角形ABC的中線．
練習冊系列答案
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如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2，四棱錐B-AA1C1D的體積為3．
（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）求直線A1C1與平面BDC1所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC1-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點E在棱CC1上，點E是棱C1C上一點．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A1E⊥BD
（2）試確定點E的位置，使得A1-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）當E為CC1中點時，求四面體A1-BDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點E在棱CC1上，點E是棱C1C上一點．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A1E⊥BD
（2）試確定點E的位置，使得A1-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）試確定點E的位置，使得四面體A1-BDE體積最大．并求出體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省仁壽一中2012屆高三12月月考數(shù)學理科試題 題型：044

如圖，在四棱柱ABC－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA1＝4，AB＝2，點E在棱CC1上，點F是棱C1D1的中點．

(1)若點E是棱CC1的中點，求證：EF∥平面A1BD；

(2)試確定點E的位置，使得A1－BD－E為直二面角，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省仁壽一中2012屆高三12月月考數(shù)學文科試題 題型：044

如圖，在四棱柱ABC－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA1＝4，AB＝2，點E在棱CC1上，點F是棱C1D1的中點．

(1)若點E是棱CC1的中點，求證：EF∥平面A1BD；

(2)試確定點E的位置，使得A1－BD－E為直二面角，并說明理由．

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