Question

16．?dāng)?shù)字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一個(gè)排列記作（a₁，a₂，…，a_n），設(shè)S_n為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．集合A_n={（a₁，a₂，…，a_n）∈S_n|任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，都有a_i+i≤a_j-j}；集合B_n={（a₁，a₂，…，a_n}∈S_n|任意整數(shù)i，j，1≤i＜n，都有a_i+i≤a_j+j}．
（Ⅰ）用列舉法表示集合A₃，B₃
（Ⅱ）求集合A_n∩B_n的元素個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）記集合B_n的元素個(gè)數(shù)為b_n．證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）集合A₃屬于單調(diào)遞增排列，集合B₃屬于實(shí)數(shù)對(duì)，利用列舉法表示集合A₃，B₃即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意知A_n={（1，2，3，…，n）}、（1，2，3，…，n）∈B_n，所以A_n⊆B_n．所以集合A_n∩B_n的元素個(gè)數(shù)為1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n≠0．因?yàn)锽₂={（1，2），（2，1）}，所以b₂=2．當(dāng)n≥3時(shí)，考慮B_n中的元素（a₁，a₂，a₃，…，a_n）．
分類討論：（1）假設(shè)a_k=n（1≤k＜n）．由已知，a_k+k≤a_k+1+（k+1），
依此類推，若a_k=n，則a_k+1=n-1，a_k+2=n-2，…，a_n=k．
①若k=1，則滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有1個(gè)．
②若k=2，則a₂=n，a₃=n-1，a₄=n-2，…，a_n=2．
③若2＜k＜n，
（2）假設(shè)a_n=n，只需（a₁，a₂，a₃，…a_n-1）是1，2，3，…，n-1的滿足條件的排列，此時(shí)滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有b_n-1個(gè)．
結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明．

解答 解：（Ⅰ）A₃={（1，2，3）}，B₃={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．
（Ⅱ）考慮集合A_n中的元素（a₁，a₂，a₃，…，a_n）．
由已知，對(duì)任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，都有a_i-i≤a_j-j，
所以（a_i-i）+i＜（a_j-j）+j，
所以a_i＜a_j．
由i，j的任意性可知，（a₁，a₂，a₃，…，a_n）是1，2，3，…，n的單調(diào)遞增排列，
所以A_n={（1，2，3，…，n）}．
又因?yàn)楫?dāng)a_k=k（k∈N^*，1≤k≤n）時(shí)，對(duì)任意整數(shù)i，j，1≤i＜j≤n，
都有a_i+i≤a_j+j．
所以（1，2，3，…，n）∈B_n，所以A_n⊆B_n．
所以集合A_n∩B_n的元素個(gè)數(shù)為1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n≠0．
因?yàn)锽₂={（1，2），（2，1）}，所以b₂=2．
當(dāng)n≥3時(shí)，考慮B_n中的元素（a₁，a₂，a₃，…，a_n）．
（1）假設(shè)a_k=n（1≤k＜n）．由已知，a_k+k≤a_k+1+（k+1），
所以a_k+1≥a_k+k-（k+1）=n-1，
又因?yàn)閍_k+1≤n-1，所以a_k+1=n-1．
依此類推，若a_k=n，則a_k+1=n-1，a_k+2=n-2，…，a_n=k．
①若k=1，則滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有1個(gè)．
②若k=2，則a₂=n，a₃=n-1，a₄=n-2，…，a_n=2．
所以a₁=1．
此時(shí)滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有1個(gè)．
③若2＜k＜n，
只要（a₁，a₂，a₃，…a_k-1）是1，2，3，…，k-1的滿足條件的一個(gè)排列，就可以相應(yīng)得到1，2，3，…，n的一個(gè)滿足條件的排列．
此時(shí)，滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有b_k-1個(gè)．
（2）假設(shè)a_n=n，只需（a₁，a₂，a₃，…a_n-1）是1，2，3，…，n-1的滿足條件的排列，此時(shí)滿足條件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有b_n-1個(gè)．
綜上b_n=1+1+b₂+b₃+…+b_n-1，n≥3．
因?yàn)閎₃=1+1+b₂=4=2b₂，
且當(dāng)n≥4時(shí)，b_n=（1+1+b₂+b₃+…+b_n-2）+b_n-1=2b_n-1，
所以對(duì)任意n∈N^*，n≥3，都有$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=2$．
所以{b_n}成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比關(guān)系的確定與等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算與推理、證明的能力，難度較大．