Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值分別為M、m，集合A={x|f（x）-x=0}．
（1）若f（0）=2，且A={1，2}，求a，b，c；
（2）在（1）的條件下，求M和m的值；
（3）若A={2}，且a≥1，記g（a）=M-m，求g（a）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=2，求得c，再由A={1，2}得1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到a，b；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到M，m；
（3）運(yùn)用韋達(dá)定理，求得b，c都用a表示，再由二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到g（a）．

解答： 解：（1）f（0）=c=2，
由 A={1，2}得1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的兩根，
由韋達(dá)定理 

1+2=- b-1 a 1×2= c a

得：a=1，b=-2，c=2．
（2）f（x）=x²-2x+2的對(duì)稱軸為x=1，開口向上，
當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，m=f（1）=1，M=f（-2）=10；
（3）由A={2}，得ax²+（b-1）x+c=0有2個(gè)相等實(shí)根2，
∴

2+2=- b-1 a 2×2= c a

即

b=1-4a c=4a

∴f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，
其對(duì)稱軸為x=-

1-4a

2a

=2-

1

2a

開口向上，
∵a≥1∴0＜

1

2a

≤

1

2

∴

3

2

≤2-

1

2a

＜2
∴m=f(2-

1

2a

)=2-

1

4a

M=f（-2）=16a-2，
∴g(a)=M-m=16a+

1

4a

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查二次方程的韋達(dá)定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．