Question

定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R．當(dāng)x*x=y時(shí)，x=*

y

．對任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出如下結(jié)論：
①（a*b）*c=a*（b*c）；  
②（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；
③a*b=b*a；         
④*

a*b

≥

a+b

2

．
其中正確的結(jié)論是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R的定義，分別進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．

解答： 解：①∵x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，
∴a*b=lg（10^a+10^b），
∴（a*b）*c=lg（10^a*b+10^c）=lg（10lg（10a+10b）+10^c）=lg（10^a+10^b+10^c）；
同理可求，a*（b*c）=lg（10^a+10^b+10^c）；  
∴（a*b）*c=a*（b*c），故①正確；  
②中，左邊（a*b）+c=lg（10^a+10^b）+c；
右邊（a+c）*（b+c）
=lg（10^a+c+10^b+c）
=lg[10^c（10^a+10^b）]
=lg10^c+lg（10^a+10^b）
=c+lg（10^a+10^b）=左邊，
故②正確；
③由①知，a*b=lg（10^a+10^b），同理可得b*a=lg（10^a+10^b），
即a*b=b*a，故③正確．
④∵當(dāng)x*x=y時(shí)，記x=*

y

，
又x=*

a*b

，
∴x*x=lg（2•10^x）=a*b=lg（10^a+10^b），
∴2•10^x=10^a+10^b，
∴x=lg

10a+10b

2

≥lg10

a+b

2

，
∴

10a+10b

2

≥10 

a+b

2

成立，即④成立．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)恒等式的應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．