Question

下面四個命題：
①已知函數(shù)f（x）=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②要得到函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移

π

3

單位；
③若定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），則f（x）是周期函數(shù)；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（-1）=0，則不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由分段函數(shù)函數(shù)值的求法結(jié)合f（a）+f（4）=4分類求解a的值判斷①；
把函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）變形為sin[2（x+

π

6

）]，看自變量的變化判斷②；
由已知條件求出函數(shù)周期判斷③；
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求得不等式f（x）＜0的解集判斷④．

解答： 解：對于①，∵f（x）=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

，
∴f（4）=2，
又f（a）+f（4）=4，
∴f（a）=2．
若a≥0，則f（a）=

a

=2，a=4．
若a＜0，則f(a)=

-a

=2，a=-4．∴命題①錯誤；
對于②，∵y=sin（2x+

π

3

）=sin[2（x+

π

6

）]，
∴要得到函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移

π

6

單位．∴命題②錯誤；
對于③，若定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
則f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)．命題③正確；
對于④，奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
又f（-1）=0，
∴f（1）=0，
則不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1或0＜x＜1}．∴命題④錯誤．
∴正確的命題是③．
故答案為：③．

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵在于對函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用，是中檔題．