Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x+a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)y=f（x）•g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a∈R且|a|≥1時(shí)，討論函數(shù)F（x）=

f[g(x)]

f(x)

的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=f（x）•g（x）=xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)y'=lnx+x

1

x

=lnx+1，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)F（x）=

f[g(x)]

f(x)

=

ln(x+a)

lnx

（x＞0且x≠1），求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，化為函數(shù)y=xlnx有相同的函數(shù)值時(shí)，自變量分別為x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故當(dāng)|a|≥1時(shí)，函數(shù)F（x）無(wú)極值點(diǎn)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=f（x）•g（x）=xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
y'=lnx+x

1

x

=lnx+1，又∵當(dāng)x=

1

e

時(shí)，y'=0，
則函數(shù)y=f（x）•g（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）F（x）=

f[g(x)]

f(x)

=

ln(x+a)

lnx

（x＞0且x≠1），
則令F'（x）=

1 x ln(x+a)- 1 x+a lnx

(lnx)2

=0，
即

1

x

ln(x+a)-

1

x+a

lnx=0，
即（x+a）ln（x+a）-xlnx=0，
若方程有解，
可化為函數(shù)y=xlnx有相同的函數(shù)值時(shí)，自變量分別為x+a，x；
由（1）知，y=xlnx在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增；
故在（0，

1

e

）上，y＜0，在（

1

e

，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，
故|x+a-x|=|a|＜1，
則方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；
即，當(dāng)|a|≥1時(shí)，函數(shù)F（x）無(wú)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，可導(dǎo)時(shí)，存在零點(diǎn)的必要條件是導(dǎo)數(shù)為0；從而判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于難題．