Question

設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是參數(shù)，a＞0），直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ=5，若曲線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：曲線C的參數(shù)方程為

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是參數(shù)，a＞0），利用sin²θ+cos²θ=1化為（x-a）²+（y-1）²=16．直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ=5，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

化為3x+4y-5=0．由于曲線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得直線與圓相切，因此圓心到直線l的距離d=r，a＞0，解出即可．

解答： 解：曲線C的參數(shù)方程為

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是參數(shù)，a＞0），化為（x-a）²+（y-1）²=16．
直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ=5，化為3x+4y-5=0．
∵曲線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴直線與圓相切，
∴圓心到直線l的距離d=

|3a+4-5|

32+42

=r=4，a＞0，
解得a=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．