Question

已知函數(shù)f（x）＜0定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=xlnx，給出下列命題中正確命題個(gè)數(shù)是：（　�。�
①當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=xln（-x）            
②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）     
④?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

e

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，f（-x）=-f（x），加以判斷．

解答： 解：函數(shù)的圖象如圖：
x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-xln（-x）
∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（x）=xln（-x），故①正確；
∴f（0）=0，故函數(shù)的零點(diǎn)由三個(gè)，故②不正確；
由圖象可知：③正確；
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_max=-

1

e

ln

1

e

=

1

e

，
f（x）_min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
∴④?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

e

．故④正確．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求法，零點(diǎn)的求法，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題目．利用繪畫(huà)函數(shù)圖象，通過(guò)圖象得到結(jié)論．