Question

設(shè)f（x）=mx²+3（m-4）x-9
（1）是判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點，試確定m的值，是f（x）的兩個零點距離最小，并求出這個距離的最小值；
（3）若m=1時，x∈[0，2]上x使f（x）-a≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分別討論m=0和m≠0兩種情況，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點判斷方法分別判斷零點個數(shù)；（2）利用韋達(dá)定理，將d=|x₁-x₂|轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)，利用配方法求最值即可；（3）將所求恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最值問題，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時，f（x）=-12x-9，函數(shù)的零點為x=-

3

4

，即函數(shù)只有一個零點．
當(dāng)m≠0時，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0，
∴函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)為2．
故當(dāng)m=0時，函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)為1；當(dāng)m≠0時，函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)為2；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點x₁，x₂，則m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=-

9

m

，
∴d=|x₁-x₂|=

(x1-x2)2-4x1x2

=

( 12-3m m )2+ 36 m

=12

( 1 m - 1 8 )2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

（m=8時取等號），
∴d=|x₁-x₂|的最小值為

3 3

2

；
（3）若m=1，則f（x）=x²-9x-9，
∴不等式f（x）-a＞0對x∈[0，2]恒成立，
即x²-9x-9＞a對x∈[0，2]恒成立，
只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a．
∵f（x）=x²-9x-9=（x-

9

2

）²-

117

4

≥f（2）=-23，
解得：a＜-23．

點評：本題考查了二次函數(shù)零點判斷方法，二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，不等式恒成立問題的解法及配方法求二次函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．