Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）²，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），則函數(shù)G（a）=

F(a)

a

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f′（x），通過(guò)判斷f′（x）的符號(hào)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：f（x）在(-∞，

1

3

]，[1，+∞)上單調(diào)遞增，在(

1

3

，1)上單調(diào)遞減．所以可以判斷出f（x）取得極值的情況：f（

1

3

）=

4

27

是f（x）的極大值，令f（x）=x(x-1)2=

4

27

，可以求得該方程的另一根x=

4

3

，從而可以弄清怎樣討論a的值：0＜a≤

1

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=a（a-1）²；

1

3

＜a≤

4

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=

4

27

；a＞

4

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=a（a-1）²，從而求出G（a）=

(a-1)2 0＜a≤ 1 3 4 27a 1 3 ＜a≤ 4 3 (a-1)2 a＞ 4 3

，所以根據(jù)二次函數(shù)及反比例函數(shù)單調(diào)性求出每段上的函數(shù)的最小值或函數(shù)值的范圍即可．

解答： 解：f′（x）=3x2-4x+1=3(x-1)(x-

1

3

)；
∴x∈(-∞，

1

3

)，（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（

1

3

，1）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，

1

3

]，[1，+∞）上單調(diào)遞增，在(

1

3

，1)上單調(diào)遞減；
∴①若0＜a≤

1

3

，則f（x）在（0，a]上單調(diào)遞增；
∴F（a）=f（a）=a（a-1）²；
②若a＞

1

3

，∵x＜

1

3

時(shí)，f′（x）＞0，x＞

1

3

時(shí)，f′（x）＜0；
∴f(

1

3

)=

4

27

是f（x）的極大值；
令f（x）=x(x-1)2=

4

27

，即：
x3-2x2+x-

4

27

=0，則該方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，其中x=

1

3

是二重根，不妨設(shè)另一根是b，則：
（x-b）(x-

1

3

)2=0，所以該方程與上面的方程是同一方程，所以：
該方程的常數(shù)項(xiàng)為-

b

9

=-

4

27

，∴b=

4

3

；
即f（

4

3

）=

4

27

；
∴當(dāng)1＜a≤

4

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=

4

27

；
當(dāng)a＞

4

3

時(shí)，f（x）在(

4

3

，a]上單調(diào)遞增；
∴此時(shí)f（x）＞f(

4

3

)=

4

27

；
∴F（a）=f（a）=a（a-1）²；
綜上得：G（a）=

(a-1)2 0＜a≤ 1 3 4 27a 1 3 ＜a≤ 4 3 (a-1)2 a＞ 4 3

；
∴0＜a≤

1

3

時(shí)，（a-1）²的最小值是(

1

3

-1)2=

4

9

；

1

3

＜a≤

4

3

時(shí)，

4

27a

的最小值是a=

4

3

對(duì)應(yīng)的值

1

9

；
a＞

4

3

時(shí)，(a-1)2＞

1

9

；
∴G（a）的最小值為

1

9

．
故答案為：

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極大值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求最大值的方法：求導(dǎo)求出函數(shù)的極大值，然后和端點(diǎn)值比較，為便于求解可畫(huà)出f（x）的草圖．