【題目】給定空間中十個(gè)點(diǎn)，其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上，將某些點(diǎn)之間用線段相連，若得到的圖形中沒(méi)有三角形也沒(méi)有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值.

【答案】15

【解析】

以這十個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、所連線段為邊得一個(gè)十階簡(jiǎn)單圖G.

下面證明：圖G的邊數(shù)不超過(guò)15.

設(shè)圖G的頂點(diǎn)為，共有k條邊，用表示頂點(diǎn)的度.

若對(duì)均成立，則.

假設(shè)存在頂點(diǎn)滿足.不妨設(shè)，且與均相鄰.于是，之間沒(méi)有邊，否則，就形成三角形.從而，之間恰有n條邊.

對(duì)每個(gè)，至多與中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（否則，設(shè)與 相鄰，則就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，這與題設(shè)條件矛盾）.從而，與之間的邊數(shù)至多為

.

在這個(gè)頂點(diǎn)之間，由于沒(méi)有三角形，由托蘭定理，知至多有條邊.因此，圖G的邊數(shù)為

.

如圖所示給出的圖共有15條邊，且滿足要求.

綜上，所求邊數(shù)的最大值為15.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).

（1）若，求三棱柱的體積；

（2）證明：平面；

（3）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，平面，試證明你的結(jié)論.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l過(guò)點(diǎn).

（1）若直線l的縱截距和橫截距相等，求直線l的方程；

（2）若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線l的方程.

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【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形， ，點(diǎn)E在棱PB上.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.

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【題目】①若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線一定是曲線的切線；

②若直線與曲線相切于點(diǎn)，且直線與曲線除點(diǎn)外再?zèng)]有其他的公共點(diǎn)，則在點(diǎn)附近，直線不可能穿過(guò)曲線；

③若不存在，則曲線在點(diǎn)處就沒(méi)有切線；

④若曲線在點(diǎn)處有切線，則必存在.

則以上論斷正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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【題目】如圖，在四棱錐中， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為有效預(yù)防新冠肺炎對(duì)老年人的侵害，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，可知成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．

（Ⅰ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記表示成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績(jī)是優(yōu)良的可能性最大，求的值．

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【題目】已知函數(shù) ，x R其中a>0.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t),記 ,求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-4,-1]上的最小值.

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（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）用定義法討論并證明函數(shù)的單調(diào)性.

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