Question

已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒(méi)患�。�下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．
求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（解法一）主要依乙所驗(yàn)的次數(shù)分類，并求出每種情況下被驗(yàn)中的概率，再求甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率；
（解法二）先求所求事件的對(duì)立事件即甲的次數(shù)小于乙的次數(shù)，再求出它包含的兩個(gè)事件“甲進(jìn)行的一次即驗(yàn)出了和甲進(jìn)行了兩次，乙進(jìn)行了3次”的概率，再代入對(duì)立事件的概率公式求解．

解答：解：（解法一）：主要依乙所驗(yàn)的次數(shù)分類：
若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能：
①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：

C 2 4 A 3 3

A 3 5

 ×

1

A 1 3

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

（也可以用

C 2 4

C 3 5

×

1

C 1 3

=

6

10

×

1

3

=

1

5

）
②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌鼉芍恢序?yàn)出陽(yáng)性（無(wú)論第二次驗(yàn)中沒(méi)有，均可以在第二次結(jié)束）

A 3 4

A 3 5

A 1 2

A 2 2

=

24

5×3×4

=

2

5

（

C 3 4

C 3 5

=

4

10

×

1

2

=

1

5

）
∴乙只用兩次的概率為

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能：
先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好二次驗(yàn)中概率為：∴在三次驗(yàn)出時(shí)概率為

2

5

∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（解法二）：設(shè)A為甲的次數(shù)不小于乙的次數(shù)，則

.

A

表示甲的次數(shù)小于乙的次數(shù)，
則只有兩種情況，甲進(jìn)行的一次即驗(yàn)出了和甲進(jìn)行了兩次，乙進(jìn)行了3次．
則設(shè)A₁，A₂分別表示甲在第一次、二次驗(yàn)出，并設(shè)乙在三次驗(yàn)出為B
則P(A1)=

1

C 1 5

=

1

5

，P(A2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，P(B)=

C 2 4

C 3 5

(1-

1

C 1 3

)=

6

10

×

2

3

=

2

5

∴P(

.

A

)=P(A1)+P(A2)•P(B)=

1

5

+

1

5

×

2

5

=

7

25

∴P(A)=1-

7

25

=

18

25

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用計(jì)數(shù)原理來(lái)求事件的概率，并且所求的事件遇過(guò)于復(fù)雜的，要主動(dòng)去分析和應(yīng)用對(duì)立事件來(lái)處理．