10.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,函數(shù)g(x)=$\frac{1}{3}b{x}^{3}$-bx,a∈R,b∈R且b≠0.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=1,且對(duì)任意的x1(1,2),總存在x2∈(1,2),使f(x1)+g(x2)=0成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析 (1)先確定函數(shù)f(x)的定義域,然后對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求出單調(diào)區(qū)間.
(2)分別表示出函數(shù)h(x)=-f(x)、g(x)的值域,根據(jù)f(x)的值域應(yīng)為g(x)的值域的子集可得答案.

解答 解:(1)f(x)=lnx-ax,
∴x>0,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞)
∴當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
當(dāng)a>0時(shí),∵f'(x)=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$,
∵f′(x)>0,則1-ax>0,ax<1,x<$\frac{1}{a}$,f′(x)<0,則1-ax<0,ax>1,
x>$\frac{1}{a}$即當(dāng)a>0時(shí)f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)上是增函數(shù),在($\frac{1}{a}$,+∞)上是減函數(shù).
(2)則由已知,對(duì)于任意的x1∈(1,2),總存在x2∈(1,2),
使-f(x1)=g(x2),
設(shè)h(x)=-f(x)在(1,2)的值域?yàn)锳,g(x)在(1,2)的值域?yàn)锽,
得A⊆B
由(1)知a=1時(shí),h′(x)=$\frac{1-x}{x}$<0在(1,2)1上是減函數(shù),
∴h(x)在x∈(1,2)上單調(diào)遞減,
∴h(x)的值域?yàn)锳=(ln2-2,-1)
∵g'(x)=bx2-b=b(x-1)(x+1)
∴(i)當(dāng)b<0時(shí),g(x)在(1,2)上是減函數(shù),
此時(shí),g(x)的值域?yàn)锽=($\frac{2}{3}$b,-$\frac{2}{3}$b)
為滿(mǎn)足A⊆B,又-$\frac{2}{3}$b≥0>-1
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2.即b≤$\frac{3}{2}$ln2-3.
(ii)當(dāng)b>0時(shí),g(x)在(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù),
此時(shí),g(x)的值域?yàn)锽=(-$\frac{2}{3}$b,$\frac{2}{3}$b)
為滿(mǎn)足A⊆B,又$\frac{2}{3}$b≥0>-1.
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2
∴b≥-$\frac{3}{2}$(ln2-2)=3-$\frac{3}{2}$ln2,
綜上可知b的取值范圍是(-∞,$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.

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