20.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-3an=1.
(1)證明:$\{{a_n}+\frac{1}{2}\}$是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)設bn=2nan+n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

分析 (1)由已知數(shù)列遞推式可得${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=3({a_n}+\frac{1}{2})$,進一步得到$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項為$\frac{3}{2}$,公比為3的等比數(shù)列.求出等比數(shù)列的通項公式,可得{an}的通項公式;
(2)把{an}的通項公式代入bn=2nan+n,利用錯位相減法求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

解答 證明:(1)由an+1-3an=1,得an+1=3an+1,得${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=3({a_n}+\frac{1}{2})$,
又${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$≠0,
∴$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項為$\frac{3}{2}$,公比為3的等比數(shù)列.
∴${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{3^n}{2}$,則${a}_{n}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$.
因此{an}的通項公式為${a_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$;
解:(2)由(1)得${a_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$,
∴bn=2nan+n=n•3n
Sn=1•31+2•32+3•33+…+n•3n,①
3Sn=1•32+2•33+…+(n-1)•3n+n•3n+1.②
①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n•3n+1
=$\frac{3(1-{3}^{n})}{1-3}$-n•3n+1=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}-n•{3}^{n+1}$.
∴Sn=$\frac{(2n-1)•{3}^{n+1}+3}{4}$.

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關系的確定,訓練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和,是中檔題.

練習冊系列答案
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12.為了了解培訓講座對某工廠工人生產時間(生產一個零件所用的時間,單位:分鐘)的影響.從工廠隨機選取了200名工人,再將這200名工人隨機的分成A,B兩組,每組100人.A組參加培訓講座,B組不參加.培訓講座結束后A,B兩組中各工人的生產時間的調查結果分別為表1和表2.
                                                                                   表1:
生產時間[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)
人數(shù)30402010
表2
生產時間[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)
人數(shù)1025203015
(1)甲、乙兩名工人是隨機抽取到的200名工人中的兩人,求甲、乙分在不同組的概率;
(2)完成圖3的頻率分布直方圖,比較兩組的生產時間的中位數(shù)的大小和兩組工人中個體間的差異程度的大。唬ú挥糜嬎,可通過直方圖直接回答結論)

(3)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答能否有99.9%的把握認為“工人的生產時間”與參加培訓講座有關?
生產時間小于70分鐘生產時間不小于70分鐘合計
A組工人a=b=
B組工人c=d=
合計n=
下面臨界值表僅供參考:
P(K2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
${K^2}=\frac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$.

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