Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，中，AC=BC=

1

2

AA₁=2，D是棱AA₁的中點(diǎn)，DC₁⊥BD．
（1）證明：DC₁⊥BC；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得A₁D=AD=2，∠ADC=45°，∠A₁DC₁=45°，從而DC⊥DC₁，又DB⊥DC₁，由此能證明DC₁⊥BC．
（2）由直三棱柱性質(zhì)得CC₁⊥BC，再由DC₁⊥BC，得面DCC₁⊥面BCC₁，過D作DH⊥CC₁于H，過H作HI⊥BC₁于I，則∠DIH為所求二面角的平面角，由此能求出二面角C-BC₁-D的余弦值．

解答： 解：（1）證明：∵D是棱AA₁的中點(diǎn)，∴A₁D=AD=2，
在Rt△DAC中，AC=AD=2，∴∠ADC=45°，
同理，∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°，∴DC⊥DC₁，
又DB⊥DC₁，∴DC₁⊥面BCD，
∴DC₁⊥BC．
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥BC，
由（1）得DC₁⊥BC，∴BC⊥ACC₁A₁，∴面DCC₁⊥面BCC₁，
過D作DH⊥CC₁于H，過H作HI⊥BC₁于I，
則∠DIH為所求二面角的平面角，
在Rt△CC₁B中，CC₁=4，BC=2，∴BC₁=2

5

，
設(shè)C到BC₁的距離為d，由于BC•CC₁=BC₁•d，
∴d=

4

5

，HI=

2

5

，
在Rt△DHI中，HI=

2

5

，DH=2，∴DI=

DH2+HI2

=

2 6

5

，
∴cos∠DIH=

HI

DI

=

2 5

2 6 5

=

6

6

，
∴二面角C-BC₁-D的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．