Question

定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=x|x+m|，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=x|x+m|，由f（-x）=-f（x），即-x|-x+m|=-x|x+m|，則|x-m|=|x+m|對(duì)于x∈R都成立，可得m=0．因此f（x）=x|x|．由于對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，且f（x）=x²．可得（1+a）²-1≤2，a＞0．解出即可．

解答： 解：∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=x|x+m|，
∴f（-x）=-f（x），即-x|-x+m|=-x|x+m|，則|x-m|=|x+m|對(duì)于x∈R都成立，
∴m=0．
∴f（x）=x|x|．
∵對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，且f（x）=x²．
∴（1+a）²-1≤2，
化為a²+2a-2≤0，a＞0，
0＜a＜

3

-1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：(0，

3

-1]．
故答案為：(0，

3

-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性、二次函數(shù)的單調(diào)性、含絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．