已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線的焦點,點M(
p
2
,p).
(1)設(shè)過F且斜率為1的直線L交拋物線C于A、B兩點,且|AB|=8,求拋物線的方程.
(2)過點M(
p
2
,p)作傾斜角互補的兩條直線,分別交拋物線C于除M之外的D、E兩點.求證:直線DE的斜率為定值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1))設(shè)過F且斜率為1的直線L的方程為y=x-
p
2
,與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系,再利用弦長公式|AB|=
(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
即可得出p.
(2)不妨設(shè)D(
y
2
3
2p
,y3)
E(
y
2
4
2p
,y4)
,由kMD=-kME,利用斜率計算公式即可得出.
解答: 解:(1))設(shè)過F且斜率為1的直線L的方程為y=x-
p
2

聯(lián)立
y=x-
p
2
y2=2px
,化為x2-3px+
p2
4
=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=3p,x1x2=
p2
4

∴|AB|=
(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2(9p2-p2)
=8,解得p=2.
故拋物線的方程為y2=4x.
(2)不妨設(shè)D(
y
2
3
2p
y3)
,E(
y
2
4
2p
y4)
,
由kMD=-kME可得:
p-y3
p
2
-
y
2
3
2p
=-
p-y4
p
2
-
y
2
4
2p
,化為y3+y4=-2p.
∴kDE=
y4-y3
y
2
4
2p
-
y
2
3
2p
=-1.
點評:本題考查了直線與拋物線相交問題、根與系數(shù)、弦長公式、斜率計算公式,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知虛數(shù)z使得z1=
z
1+z2
和z2=
z2
1+z
都為實數(shù),求z.

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某汽車廠生產(chǎn)的A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適性和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛)
轎車A轎車B轎車C
舒適性800450200
標準型100150300
(Ⅰ)在這個月生產(chǎn)的轎車中,用分層抽樣的方法抽取n輛,其中有A類轎車45輛,求n的值;
(Ⅱ)在C類轎車中,用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少1輛舒適性轎車的概率;
(Ⅲ)用隨機抽樣的方法從A類舒適性轎車中抽取10輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:,8.7,9.3,8.2,9.4,8.6,9.2,9.6,9.0,8.4,8.6,把這10輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,點E是PD的中點.
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)求直線BP與平面PAC所成的角.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)在一個周期內(nèi)的部分圖象如圖
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點F1,F(xiàn)2和上下兩個頂點B1,B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點F2,斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E,F(xiàn)兩點,A為橢圓的右頂點,直線AE,AF分別交直線x=3于點M,N,線段MN的中點為P,記直線PF2的斜率為k′.試問:k•k′是否為定值?若為定值請求出;若不為定值請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知cosα=
3
5
,cosβ=
2
5
5
,其中α,β都是銳角求:
(Ⅰ)sin(α-β)的值; 
(Ⅱ)tan(α+β)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(
2
x
-1)+x,則當x>1時,函數(shù)f(x)的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)y=sin(2x-
π
4
)的最小正周期為
 

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