Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點，點M（

p

2

，p）．
（1）設(shè)過F且斜率為1的直線L交拋物線C于A、B兩點，且|AB|=8，求拋物線的方程．
（2）過點M（

p

2

，p）作傾斜角互補的兩條直線，分別交拋物線C于除M之外的D、E兩點．求證：直線DE的斜率為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1））設(shè)過F且斜率為1的直線L的方程為y=x-

p

2

，與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，再利用弦長公式|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出p．
（2）不妨設(shè)D(

y 2 3

2p

，y3)，E(

y 2 4

2p

，y4)，由k_MD=-k_ME，利用斜率計算公式即可得出．

解答： 解：（1））設(shè)過F且斜率為1的直線L的方程為y=x-

p

2

，
聯(lián)立

y=x- p 2 y2=2px

，化為x2-3px+

p2

4

=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(9p2-p2)

=8，解得p=2．
故拋物線的方程為y²=4x．
（2）不妨設(shè)D(

y 2 3

2p

，y3)，E(

y 2 4

2p

，y4)，
由k_MD=-k_ME可得：

p-y3

p 2 - y 2 3 2p

=-

p-y4

p 2 - y 2 4 2p

，化為y₃+y₄=-2p．
∴k_DE=

y4-y3

y 2 4 2p - y 2 3 2p

=-1．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題、根與系數(shù)、弦長公式、斜率計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．