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4.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin2A-sin2C=sinAsinB-sin2B.
(1)求∠C的值;
(2)若ABAC+BABC=4,求a+b的取值范圍.

分析 (1)利用正弦定理將角的等式轉(zhuǎn)化為邊的等式,利用余弦定理得到C的余弦值求C.
(2)由已知 定下來(lái)等式得到AB的長(zhǎng)度,利用正弦定理將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角A 的三角函數(shù),利用角度范圍以及正弦函數(shù)的有界性求范圍.

解答 解:(1)由正弦定理可得a2+b2-c2=ab,
∴cosC=a2+2c22ab=12,
∵0<C<π,∴C=\frac{π}{3}.…(6分)
(2)∵\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=4,∴\overrightarrow{AB}•({\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}})=4
{|{\overrightarrow{AB}}|^2}=4,
∴c=2.
\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3},
∴a=\frac{4\sqrt{3}}{3}sinA,b=\frac{4\sqrt{3}}{3}sinB.
∴a+b=\frac{4\sqrt{3}}{3}(sinA+sinB)=\frac{4\sqrt{3}}{3}[sinA+sin(\frac{2π}{3}-A)]
=4(\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA)=4sin(A+\frac{π}{6}).
∵A+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),
∴2<a+b≤4.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形;利用兩個(gè)定理靈活將邊角關(guān)系進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.2B.0C.-4D.-2

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13.設(shè)直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn),Ox軸為極軸,選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}
(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并指出曲線是什么曲線;
(2)若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求|AB|.

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14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓{C_1}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為\sqrt{2}-1
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(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)({0,\sqrt{2}})且與橢圓C1相切,求直線l的方程.

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