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16.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(a≠0),函數(shù)f(x)對于任意的都滿足條件f(1+x)=f(1-x).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象與y軸交于點(0,2),求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有零點,求實數(shù)c的取值范圍.

分析 (1)函數(shù)f(x)對于任意的都滿足條件f(1+x)=f(1-x),得到函數(shù)f(x)的對稱軸為x=1,即可求出a的值,再根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象與y軸交于點(0,2),求出c的值,問題得以解決.
(2)根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)對于任意的都滿足條件f(1+x)=f(1-x),
∴函數(shù)f(x)的對稱軸為x=1,
∴-1a=1,
解得a=-1,
∵函數(shù)f(x)的圖象與y軸交于點(0,2),
∴c=2,
∴f(x)=-x2+2x+2,
(2)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有零點,
∴f(0)f(1)<0,
∴c(-1+2+c)<0,
解得-1<c<0

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求法和一元二次函數(shù)的零點的問題,根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì),以及函數(shù)和方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

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