Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0（n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，并且滿足S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．求
（1）S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₁，a₂，a₃．即可求得S₁，S₂，S₃的值．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：Sn=

n

，（n∈N^*），檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）易求得a₁=1，a₂=

2

-1，a₃=

3

-

2

，
S₁=1，S₂=

2

，S₃=

3

（3分）；
（2）猜想Sn=

n

（5分）
證明：S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．S_n-1=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）．可得an=

n

-

n-1

，
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

=1，猜想成立  
②假設(shè)n=k時(shí)，Sk=

k

成立，（8分）
則n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

+ak+1=

k

+

k+1

-

k

=

k+1

．
即n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①②知，n∈N^*時(shí)，Sn=

n

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式．