Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分a，b，c，c²sinAcosA+a²sinCcosC=4sinB，$cosB=\frac{\sqrt{7}}{4}$，D是AC上一點，且${S}_{△BCD}=\frac{2}{3}$，則$\frac{AD}{AC}$=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，余弦定理化簡已知等式可求ac=4，由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，進(jìn)而利用三角形面積公式可求S_△ABC，進(jìn)而利用比例的性質(zhì)即可得解．

解答 解：∵c²sinAcosA+a²sinCcosC=4sinB，
∴ac²•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+ca²•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=4b，
∴解得：ac=4，
∴$cosB=\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{CD}{AC}=\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{5}{9}$．
故答案為：$\frac{5}{9}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式，比例的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．