Question

在△ABC中，已知sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB．
（1）求角C；
（Ⅱ）若c=4，求a+b的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由正弦定理可將已知sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB化簡(jiǎn)得a²+b²=c²+ab，從而由余弦定理求出cosC，求出角C的值．
（Ⅱ）若c=4，由（1）得，16=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，又ab≤(

a+b

2

)2，所以16≥

1

4

(a+b)2，從而a+b≤8．

解答： 解：（Ⅰ）由sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB，得a²+b²=c²+ab，
所以，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，角C=

π

3

．
（Ⅱ）因?yàn)閏=4，所以16=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又ab≤(

a+b

2

)2，所以16≥

1

4

(a+b)2，從而a+b≤8，其中a=b時(shí)等號(hào)成立．
故a+b的最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．