【題目】如圖，已知底角為的等腰梯形，底邊長為12，腰長為，當一條垂直于底邊 (垂足為）的直線從左至右移動（與梯形有公共點）時，直線把梯形分成兩部分.

（1）令，試寫出直線右邊部分的面積與的函數(shù)解析式；

（2）在（1）的條件下，令.構造函數(shù)

①判斷函數(shù)在上的單調性；

②判斷函數(shù)在定義域內是否具有單調性，并說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：首先根據(jù)題意尋求y 與自變量x的關系，根據(jù)x的不同情況求出y與x的函數(shù)關系，得出分段函數(shù)；根據(jù)所求出的函數(shù)f(x)的解析式，按照函數(shù)g(x)的要求，寫出對應的函數(shù)g(x)的解析式，研究函數(shù)g(x)在（4，8）的單調性，按照分段函數(shù)的解析式分段研究函數(shù)的單調性.

試題解析：

（1）過點分別作，垂足分別是.因為等腰梯形的底角為，腰長為，所以,又，所以.

當點在上時，即時， ；

當點在上時，即時， ；

當點在上時，即時， .

所以，函數(shù)解析式為

（2）

① 由二次函數(shù)的性質可知，函數(shù)在上是減函數(shù).

② 雖然在和單調遞減，

但是，∴.

因此函數(shù)在定義域內不具有單調性.

練習冊系列答案
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【題目】某漁場有一邊長為20m的正三角形湖面ABC（如圖所示），計劃筑一條筆直的堤壩DE將水面分成面積相等的兩部分，以便進行兩類水產品養(yǎng)殖試驗（D在AB上，E在AC上）．

（1）為了節(jié)約開支，堤壩應盡可能短，請問該如何設計？堤壩最短為多少？

（2）將DE設計為景觀路線，堤壩應盡可能長，請問又該如何設計？

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年份

2012年

2013年

2014

2015

2016

廣告投入x

0.8

0.9

1

1.1

1.2

銷售收入y

16

23

25

26

30

（1）求y關于x的回歸方程； （2）2017年度該電商準備投入廣告費1.5億元，

利用（1）中的回歸方程，預測該電商2017年的銷售收入．

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

，選用數(shù)據(jù)： ，

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【題目】已知函數(shù)的定義域是.

（1）判斷在上的單調性，并證明；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】過點作拋物線的兩條切線, 切點分別為, .

（1） 證明: 為定值;

（2） 記△的外接圓的圓心為點, 點是拋物線的焦點, 對任意實數(shù), 試判斷以為直徑的圓是否恒過點? 并說明理由.

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【題目】有一種新型的洗衣液，去污速度特別快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時間x(分鐘)變化的函數(shù)關系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經驗，當水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時，它才能起到有效去污的作用．

(1)若只投放一次k個單位的洗衣液，兩分鐘時水中洗衣液的濃度為3(克/升)，求k的值；

(2)若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？

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