Question

【題目】已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量滿足．

（1）求證：直線AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；

（2）當(dāng)AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析：（1）欲證直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，只需找到直線方程，在驗(yàn)證不管參數(shù)為何值都過(guò)某一定點(diǎn)即可，可根據(jù)判斷直線OA，OB垂直，設(shè)AB方程，根據(jù)OA，OB垂直消去一些參數(shù)，再進(jìn)行判斷．（2）設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)OA，OB垂直，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再用點(diǎn)到直線的距離公式求AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的，求出最小值，讓其等于解參數(shù)p即可．

試題解析：

（1）∵，∴OA⊥OB．設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）則x12=2py1，x22=2py2，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1），由，得，∵．令x=0，得，∴（*）

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，從而．

∵x1x2≠0（否則，有一個(gè)為零向量），∴x1x2=-4p2．代入（*），得y=2p，

∴AB始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，2p）．

（2）設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則x1+x2=2x，y1+y2=2y，∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）．

又∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（x1+x2）2+8p2，∴4x2+8p2=4py，

即．…①，AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離．

將①代入，得．

因?yàn)閐的最小值為，∴，∴p=2．