Question

下列函數(shù)中，值域是（0，+∞）的函數(shù)是

 

．
（1）y=x-

2

3

；（2） y=x²+x+1；（3）y=

1-x

1+x

；（4）y=|log₂（x+1）|．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)值域的求解問(wèn)題．在解答時(shí)：（1）利用冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷單調(diào)性；（2）先配方，通過(guò)研究開(kāi)口和對(duì)稱(chēng)軸即可獲得單調(diào)性；（3）對(duì)解析式進(jìn)行變形得：y=

2

1+x

-1進(jìn)而即可分析其單調(diào)性；（4）此函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，首先分析y=log₂（x+1）與函數(shù)y=log₂x的關(guān)系，然后再加絕對(duì)值，即將x軸下方的關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而即可獲得函數(shù)的單調(diào)性．在逐一獲得函數(shù)的單調(diào)性后即可在定義域上求的函數(shù)的最值，進(jìn)而問(wèn)題即可獲得解答．

解答：解：由題意：
（1）利用冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)、在（0，+∞）上為減函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）；
（2）配方得：y=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以函數(shù)的值域?yàn)?span id="atw4emi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

3

4

，+∞)；
（3）對(duì)解析式進(jìn)行變形得：y=

2

1+x

-1進(jìn)而即可分析其單調(diào)性為：在（-∞，-1）上為單調(diào)遞減函數(shù)，在（-1，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋海?∞，-1）∪（-1，+∞）；
（4）此函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，首先函數(shù)y=log₂（x+1）的圖象可以看作是由函數(shù)y=log₂x的圖象向左平移1個(gè)單位得到，函數(shù)y=|log₂（x+1）|的圖象可以看作是由函數(shù)y=log₂（x+1）的圖象將x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后得到，所以函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，+∞）．
故答案為：（1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)值域的求解問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了冪函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、解析式的變形以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的分析．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．