Question

在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=

1

2

BC=2．求證：FO∥平面CDE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：證法一：要證明FO∥平面CDE，在平面CDE中：取CD中點M，連接OM．證明FO∥EM即可；
證法二：取BC中點G，連接OG，并延長GO交AD于H，連接FH，證明面FGH∥面CDE即可；

解答： （1）證法一：

取CD中點M，連接OM，EM，
在矩形ABCD中，OM∥BC且OM=

1

2

BC，
又EF∥BC且EF=

1

2

BC，則EF∥OM且EF=OM．
所以四邊形EFOM為平行四邊形，所以FO∥EM．
又因為FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
所以FO∥平面CDE．…（12分）
證法二
取BC中點G，連接OG，并延長GO交AD于H，連接FH
在矩形ABCD中，
OG∥CD，
且CD?面CDE，OG?面CDE
OG∥面CDE
又EF∥BC且EF=

1

2

BC，則EF∥GC且EF=GC．
所以四邊形EFGC為平行四邊形，所以FG∥EC．
又因為FG?平面CDE，且EC?平面CDE，
所以FG∥平面CDE．∵FG∩GO=O，F(xiàn)G?面FGH，GO?面FGH∴面FGH∥面CDE，∵OF?面FGH∴OF∥面CDE

點評：本題考查直線與平面平行、平面與平面平行等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力．