如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG=
1
3
Gd′，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P-BCG的體積為
8
3
．
（1）求過點P，C，B，G四點的球的表面積；
（2）求直線DP與平面PBG所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）首先利用四面體的體積公式求出PG的長，再以GP，GB，GC構造長方體，外接球的直徑為長方體的對角線，求出R，進一步確定表面積．
（2）先做出直線與平面的夾角進一步求出結果．
解答： 解：（1）四棱錐P-ABCD中，PG⊥平面ABCD
∵四面體P-BCG的體積為
8
3
．
∴
1
3
•
1
2
BG•GC•PG=
8
3

∵GB=GC=2，
解得：PG=4
以GP，GB，GC構造長方體，外接球的直徑為長方體的對角線，
所以：（2R）2=16+4+4
解得：R=
6

S=4πR2=24π
（2）由GB=GC=2
∴△BGC為等腰三角形，
GE為∠BGC的角平分線，作DK⊥BG交BG的延長線于K，
∴DK⊥平面BGP．
由平面幾何知識可知：DK=GK=
3
2
，PD=
41
2

設直線DP與平面PBG所成角為α
∴sinα=
DK
DP
=
3
82
82
點評：本題考查的知識要點：幾何體的體積公式和表面積公式的應用，線面夾角的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點（-2，4）到y(tǒng)=
1
x
的最短距離是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：面PAB⊥面PAC；
（2）求證：PB∥平面AEC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=a+t
y=-
3
t
（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2．
（1）求曲線C1、C2的普通方程；
（2）若曲線C1、C2有公共點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=
1
2
BC=2．求證：FO∥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)m（x）=lnx，h（x）=-
1
6
x3+ax-
4
3
，a∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=m（x）-h（x），當a=
3
2
時，求f（x）在[1，+∞）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=m（x）-h（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：
n
k=1
(
6k2-3k-1
6k3
)＜ln(n+1)，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
①對任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1；
②當x＜0時，f（x）＞1．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）-1的奇偶性；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若不等式f（a2-2a-7）+
1
2
＞0的解集為{a|-2＜a＜4}，求f（5）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1=25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．
（1）求{an}的通項公式；
（2）求a1+a3+a5+…+a2n-1．

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