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【答案】所求為,且當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.

【解析】

棋盤(pán)按國(guó)際象棋方式黑邊相間染色,其中,為黑色,

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),任兩個(gè)黑色的小方格滿足條件,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),任兩個(gè)異色的小方格滿足條件.

記以下結(jié)論為.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,

先證下面的引理.

引理1 等價(jià)

顯然成立.

引理2 棋盤(pán)中,不同列的異色的兩個(gè)小方格滿足條件.

引理2的證明:若同行,因二者異色,則其中間有偶數(shù)列,由如圖方式知滿足條件.

不同行,因二者異色,則其中間有奇數(shù)列,由如圖方式知滿足條件.

引理3 成立,則成立,

引理3的證明:對(duì)棋盤(pán),分兩種情況討論:

(1)若都不在前(后)兩列,則在后(前)面的棋盤(pán)中,有成立,且在前(后)第三列中必有相鄰方格是中棋子走過(guò)的路徑中連續(xù)的兩個(gè)方格(設(shè)為),可用如圖

方式將前(后)兩列并入棋子原來(lái)的路徑,使成立.

(2)若一個(gè)在前兩列,另一個(gè)在后兩列,不妨設(shè)在前兩列,則在第二列有至少兩個(gè)方格與異色,其中至少有一個(gè)方格(記為)與不同行,由引理知在前棋盤(pán)中,滿足條件,取第三列中與相鄰的方格(與同色),則由成立,知在后棋盤(pán)中,滿足條件.

故由,使成立.

由(1)、(2)知成立.

類(lèi)似可證:

引理4 成立,則成立.

回到原題

由引理知,為利用數(shù)學(xué)歸納法,只需證明成立即可.

對(duì)異色.

相鄰,則由如圖

環(huán)路知滿足條件.

不相鄰,當(dāng)都在上(下)兩行時(shí),由引理2知在棋盤(pán)中,滿足條件.

類(lèi)似引理3

(1)知有的路徑使成立,當(dāng)一個(gè)在上兩行,另一個(gè)在下兩行時(shí),類(lèi)似引理3(2)知有

的路徑使成立.

對(duì)同黑.

先由圖知成立.

再分兩種情況證成立.

都在前(后)三列,則由成立,知在前(后)棋盤(pán)中,滿足條件,類(lèi)似引理3(1)知在棋盤(pán)中有路徑使成立.

一個(gè)在前兩列,另一個(gè)在后兩列,不妨設(shè)在前兩列,由引理2知,在第2列中存在白方格,在第4列中存在白方格,使得分別在前、后棋盤(pán)中,、分別滿足條件,如圖

方式將相連,則使成立.

最后分兩種情況證成立.

都在前(后)三列,則由成立,類(lèi)似引理可知在棋盤(pán)中,有路徑使成立.

一個(gè)在前兩列,另一個(gè)在后兩列,類(lèi)似中第2種情況知在棋盤(pán)中有路徑使成立.

成立.

綜上,所求為,且當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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