Question

如圖，以ox軸為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P，Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

5

，

4

5

）
（1）求

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
（2）若OP⊥OQ，求

sin(α+β)

2 cos( π 4 +β)

．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,任意角的三角函數(shù)的定義

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）先利用倍角公式將sin2α，cos2α化為單角的三角函數(shù)，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將tanα用sinα，cosα表示，再根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得；
（2）由OP⊥OQ可得α，β的關(guān)系為α-β=

π

2

，將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)求值．

解答： 解：由已知可得，cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
所以（1）

sin2α+cos2α+1

1+tanα

=

2sinαcosα+2cos2α

1+ sinα cosα

=

2cos2α(sinα+cosα)

cosα+sinα

=2cos²α=

18

25

；
（2）若OP⊥OQ，則又0＜β＜α＜π，所以α-β=

π

2

，即β=α-

π

2

，
所以

sin(α+β)

2 cos( π 4 +β)

=

sin(2α- π 2 )

2 cos(α- π 4 )

=

-cos2α

cosα+sinα

=

-2cos2α+1

cosα+sinα

=

18 25 +1

- 3 5 + 4 5

=

43 25

1 5

=

43

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義及基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角和的正弦公式等，記住基本的三角恒等變形式是關(guān)鍵．