Question

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，棱長為2
（1）求平面A'BC'與平面ABCD成的二面角（銳角）的大小．
（2）求直線AC到平面A'BC'的距離．

Answer 1

解：（1）∵平面A'C'∥平面AC
∴平面A'BC'與平面A'C'成的角即為平面A'B'C與平面AC成的角，
連接B'D'交A'C'于O'，連接BO'
∵BB'⊥平面A'C'，B'D'⊥A'C'
∴BO'⊥A'C'
∠BO'B'即為二面角B-A'C'-B'的平面角，，BB'=2
∴∴∠BO'B'=
∴平面A'BC'與平面ABCD成的二面角為．
（2）連接BD交AC于O，連接B'D交BO'與H，取BH 的中點N，連接ON
易證：B'D⊥平面A'BC'，ON∥DB'，∴ON⊥平面A'BC'
AC∥A'C'AC∥平面A'BC'
點O到平面A'BC'的距離即為AC到平面A'BC'的距離

∴直線AC到平面A'BC'的距離為
分析：（1）平面A'C'∥平面AC，平面A'BC'與平面A'C'成的角即為平面A'B'C與平面AC成的角，連接B'D'交A'C'于O'，連接BO'則可證明∠BO'B'即為二面角B-A'C'-B'的平面角，在△BO'B'中求解．
（2）連接BD交AC于O，連接B'D交BO'與H，取BH 的中點N，連接ON，說明點O到平面A'BC'的距離即為AC到平面A'BC'的距離，求解即可．
點評：本題主要以正方體為載體，考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．掌握正方體的一些幾何性質(zhì)，能為解題提供有益的幫助與思路引領(lǐng)，本題中B'D⊥平面A'BC'是重要的一個步驟．