Question

已知命題p：?x₀∈[-1，1]，滿足x₀²+x₀-a+1＞0，命題q：?t∈（0，1），方程x²+

y 2

t2-(2a+2)t+a2+2a+1

=1都表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．若命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：在命題p中，因為?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0-a+1＞0，所以只要x02+x0-a+1的最大值滿足不等式即可，這樣求出該最大值，即可得到a的取值范圍．同樣根據(jù)命題q中的方程表示橢圓，求出a的取值范圍．容易判斷命題p和q中一真一假，所以分p真，q假和p假，q真討論，求對應(yīng)的a的取值范圍，然后求這兩種情況的并集即可．

解答： 解：因為?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0-a+1＞0，所以只須(x02+x0-a+1)max＞0；
∵x02+x0-a+1=(x0+

1

2

)2-a+

3

4

，∴x₀=1時，x02+x0-a+1的最大值為3-a，∴3-a＞0，所以命題p：a＜3；
因為?t∈（0，1），方程x2+

y 2

t2-(2a+2)t+a2+2a+1

=1都表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以t²-（2a+2）t+a²+2a+1＞1即t²-（2a+2）t+a²+2a=（t-a）（t-（a+2））＞0對t∈（0，1）恒成立，只須a+2≤0或a≥1，得a≤-2或a≥1；
根據(jù)已知條件知，p和q中一真一假：
若p真q假，得

a＜3 -2＜a＜1

，即-2＜a＜1；
若p假q真，得

a≥3 a≤-2，或a≥1

，得a≥3
綜上所述，-2＜a＜1，或a≥3；
∴a的取值范圍為（-2，1）∪[3，+∞）．

點(diǎn)評：考查對?和?兩種數(shù)學(xué)用語的理解，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，一元二次不等式解的情況，p∨q，p∧q兩種連接詞的概念及真假情況．