Question

設數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋1＝a_n＋ (n＝1,2，…)．

(1)證明：a_n＞對一切正整數(shù)n都成立；

(2)令b_n＝ (n＝1,2，…)，判斷b_n與b_n＋1的大小，并說明理由．

Answer 1

解：(1)證明：法一：當n＝1時，a₁＝2＞，不等式成立．

假設當n＝k(k∈N^*)時，a_k＞成立．

那么當n＝k＋1時，a＝a＋＋2＞2k＋3＋＞2(k＋1)＋1.

∴當n＝k＋1時，a_k＋1＞成立．

綜上，a_n＞對一切正整數(shù)n都成立．

法二：當n＝1時，a₁＝2＞＝，結(jié)論成立．

假設當n＝k(k∈N^*)時結(jié)論成立，

即a_k＞.

 那么當n＝k＋1時，由函數(shù)f(x)＝x＋(x＞1)的單調(diào)遞增性和歸納假設，

知a_k＋1＝a_k＋＞＋

故b_n＋1＜b_n.