已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時,求f(x)在x=0處的切線方程;
(2)函數(shù)f(x)是否存在零點,若存在,求出零點的個數(shù);若不存在,說明理由.

解:(Ⅰ),
當(dāng)時,f'(0)=-3.又f(0)=-1. …..(2分)
則f(x)在x=0處的切線方程為y=-3x-1. …..(4分)
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,a)∪(a,+∞).
當(dāng)x∈(a,+∞)時,,所以
即f(x)在區(qū)間(a,+∞)上沒有零點. …..(6分)
當(dāng)x∈(-∞,a)時,,
令g(x)=ex(x-a)+1. …(7分)
只要討論g(x)的零點即可.g'(x)=ex(x-a+1),g'(a-1)=0.
當(dāng)x∈(-∞,a-1)時,g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(a-1,a)時,g'(x)>0,g(x)是增函數(shù).
所以g(x)在區(qū)間(-∞,a)最小值為g(a-1)=1-ea-1. …..(9分)
顯然,當(dāng)a=1時,g(a-1)=0,所以x=a-1是f(x)的唯一的零點;
當(dāng)a<1時,g(a-1)=1-ea-1>0,所以f(x)沒有零點;
當(dāng)a>1時,g(a-1)=1-ea-1<0,所以f(x)有兩個零點. …..(12分)
分析:(1)欲求曲線y=f(x)在其上一點x=0處的切線的方程,只須求出切線斜率,切點坐標即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,利用函數(shù)求出切點坐標,進而得切線方程;
(2)由于函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,a)∪(a,+∞).下面對x的范圍進行分類討論:當(dāng)x∈(a,+∞)時,f(x)在區(qū)間(a,+∞)上沒有零點.當(dāng)x∈(-∞,a)時,令g(x)=ex(x-a)+1.構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)求導(dǎo),做出函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,從而得到要求的結(jié)果.
點評:本題以函數(shù)為載體,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查考查函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù),

(1)當(dāng)時,若,試求;

(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講

已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的定義域;

(2)若關(guān)于的不等式的解集是,求的取值范圍.

 

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(本小題12分)已知函數(shù)。

(1)當(dāng)時,判斷的單調(diào)性;

(2)若在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍;

 

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已知函數(shù)

    (1)當(dāng)時,求滿足的取值范圍;

    (2)若的定義域為R,又是奇函數(shù),求的解析式,判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.

 

 

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((本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,如果函數(shù)僅有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;

(2)當(dāng)時,試比較的大��;

(3)求證:).

 

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