已知函數(shù)f(x)=asinx+cosx,a為是常數(shù),x∈R.
(1)請(qǐng)指出函數(shù)f(x)的奇偶性,并給予證明;
(2)當(dāng)a=
3
,x∈[0,
π
2
]時(shí),求f(x)的取值范圍.
考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù)
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)利用函數(shù)奇偶性的定義分別通過f(-x)=f(x)與f(-x)=-f(x),求得a.
(2)利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn),根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域.
解答: 解:(1)f(-x)=-asinx+cosx=f(x)
即-asinx+cosx=asinx+cosx,
∴2asinx=0,
∴a=0,
∴當(dāng)a=0時(shí),f(x)是偶函數(shù). 
由f(-x)=-f(x)
∴-asinx+cosx=-asinx-cosx,
∴2cosx=0,
僅對(duì)x-kπ+
π
2
,k∈Z成立,
∴f(x)是不是奇函數(shù).
綜上:當(dāng)a=0時(shí),f(x)是偶函數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),f(x)是非奇非偶函數(shù).
(2)當(dāng)a=
3
時(shí),f(x)=
3
sinx+cosx=2sin(x+
π
6
)
,
x∈[0,
π
2
]
,得
π
6
≤x+
π
6
3
,
1
2
≤sin(x+
π
6
)≤1

∴f(x)∈[1,2].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的奇偶性,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角函數(shù)圖象與性質(zhì).要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)能熟練記憶并靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知數(shù)列{an},其中a1=2,an-an-1=2n-1(n≥2,n∈N*
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列bn=2log2an-1,記數(shù)列{
2
bnbn+1
}的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn
9
10
成立的最小正整數(shù)n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為BD的中點(diǎn),G為PD的中點(diǎn),△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=
3
2
,連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.
(1)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.                 
(2)在線段BP上是否存在一點(diǎn)H滿足
BH
BP
,使得DH與平面DPC所成角的正弦值為
1
74
?若存在,求出λ的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M:(x+
5
2+y2=36,N(
5
,0),點(diǎn)P是圓M上的任意一點(diǎn),線段NP的垂直平分線和半徑MP相較于點(diǎn)Q.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若圓x2+y2=4的切線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值.

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一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為4cm和10cm,高為4cm,求正四棱臺(tái)的側(cè)面積和體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+3x+b(a<0,a、b∈R).設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根分別為α、β
(1)若|α-β|=1,求a、b的關(guān)系式;
(2)若a、b均為負(fù)整數(shù),且|α-β|=1,求f(x)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若方程f(x)=(2m+2)x+2m+4至少有一個(gè)正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx+d(a,b,c,d為常數(shù)且a≠0),g(x)=f′(x)(f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)).
(Ⅰ)若g(x)滿足:①g′(0)>0;②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(x)≥0.求μ=
g(1)
g′(0)
的最小值;
(Ⅱ)若a=1且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈(-∞,0)有f′(x)>0;對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈(0,4)有f′(x)<0.求b的取值范圍;
(Ⅲ)若a=1,b=-2e,討論關(guān)于x的方程lnx=x•g(x)的根的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓x2+
y2
4
=1的左,右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B.曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為
5
的雙曲線.設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,證明:x1•x2=1.

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解關(guān)于x的不等式:x2+|x-2|>3.

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