Question

已知f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx+d（a，b，c，d為常數(shù)且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)）．
（Ⅰ）若g（x）滿足：①g′（0）＞0；②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x）≥0．求μ=

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）若a=1且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（0，4）有f′（x）＜0．求b的取值范圍；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，討論關(guān)于x的方程lnx=x•g（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)g′（x）的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式即可求μ=

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）若a=1，根據(jù)條件確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系，即可求b的取值范圍；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，將方程lnx=x•g（x）轉(zhuǎn)化為

lnx

x

=x²-2ex+c，利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問(wèn)題．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx+d，
∴f′（x）=ax²+bx+c，
則g（x）=f′（x）=ax²+bx+c，
g′（x）=2ax+b，
∵①g′（0）＞0；∴b＞0，
∵②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x）≥0．則a＞0且判別式△=b²-4ac≤0，
從而c＞0，ac≥

b2

4

，
則μ=

g(1)

g′(0)

=

a+b+c

b

=

a+c

b

+1≥

2 ac

b

+1≥2，
故=

g(1)

g′(0)

的最小值為2；
（Ⅱ）若a=1，f′（x）=x²+bx+c，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（0，4）有f′（x）＜0．
則x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，即f′（0）=c=0，
則f′（x）=x²+bx=x（x+b），
若-b＜0，即b＞0，函數(shù)f（x）在x∈（-b，0）為減函數(shù)，與x∈（0，4）有f′（x）＜0矛盾．
若-b＞0，即b＜0，則f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，在（0，-b）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-b，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
即-b≥4，即b≤-4，
則b的取值范圍是b≤-4；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，則g（x）=f′（x）=x²-2ex+c，
關(guān)于x的方程lnx=x•g（x）等價(jià)為

lnx

x

=x²-2ex+c，（x＞0），
設(shè)h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）=

1-lnx

x2

＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）=

1-lnx

x2

＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
從而函數(shù)的最大值為h（e）=

1

e

，
g（x）的最小值為g（e）=c-e²，
①若c-e²＞

1

e

，即c＞e²+

1

e

，此時(shí)函數(shù)g（x）和h（x）圖象無(wú)交點(diǎn)，即方程lnx=x•g（x）的根的個(gè)數(shù)為0個(gè)．
②若c-e²=

1

e

，即c=e²+

1

e

，此時(shí)函數(shù)g（x）和h（x）圖象有唯一的交點(diǎn)，方程lnx=x•g（x）的根的個(gè)數(shù)為1個(gè)．③若c-e²＜

1

e

，即c＜e²+

1

e

，此時(shí)函數(shù)g（x）和h（x）圖象有2個(gè)交點(diǎn)，方程lnx=x•g（x）的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．