Question

已知在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：CD⊥AB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得到EF∥AC，由線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）連結(jié)AE，BE，只要證明CD⊥平面ABE，再由線面垂直的性質(zhì)可證．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，
所以，EF為△ACD的中位線，所以EF∥AC．…（2分）
又因?yàn)锳C?平面ABC，EF?平面ABC，
所以，EF∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ）證明：連結(jié)AE，BE，
在△ACD中，因?yàn)锳C=AD，E是CD中點(diǎn)，所以AE⊥CD．…（6分）
同理可證，BE⊥CD．…（7分）
又因?yàn)�，AE∩BE=E，AE?平面ABE，BE?平面ABE，
所以，CD⊥平面ABE．…（9分）
又因?yàn)�，AB?平面ABE，
所以CD⊥AB．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定和線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理，正確運(yùn)用．