Question

若斜率互為相反數(shù)且相交于點P（1，1）的兩條直線被圓O：x²+y²=4所截的弦長之比為

6

2

，則這兩條直線的斜率之積為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：設這兩條直線的斜率分別為k、-k，利用點斜式求得兩條弦所在的直線方程，求出各自的弦心距，再結合弦長之比為

6

2

得到關于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的兩根之積．

解答： 解：設這兩條直線的斜率分別為k、-k，
則這兩條直線的方程分別為m：y-1=k（x-1），n：y-1=-k（x-1），
即m：kx-y+1-k=0，n：kx+y-1-k=0．
圓心O到直線m的距離為d=

|0+0+1-k|

k2+1

=

|k-1|

k2+1

，可得弦長為2

4- (k-1)2 k2+1

．
圓心O到直線n的距離為d′=

|0+0-1-k|

k2+1

=

|k+1|

k2+1

，可得弦長為2

4- (k+1)2 k2+1

．
再由弦長之比為

2 4- (k-1)2 k2+1

2 4- (k+1)2 k2+1

=

6

2

，即

3k2+2k+3 3k2-2k+3

=

6

2

，可得3k²-10k+3=0．
求得k=3，或 k=-

1

3

，
∴當k=3時，這兩條直線的斜率之積為3×（-3）=-9；
當 k=-

1

3

 時，兩條直線的斜率之積為-

1

3

×

1

3

=-

1

9

，
故答案為：-9或-

1

9

．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，韋達定理，弦長公式，屬于中檔題．