Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)2.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數(shù)求導，然后對參數(shù)分類討論可得當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;

(2)將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，考查函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2.

試題解析：

(1) ，函數(shù)的定義域為.

當時， ，則在上單調(diào)遞增，

當時，令，則或 (舍負)，

當時， ， 為增函數(shù)，

當時， ， 為減函數(shù)，

∴當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)解法一：由得，

∵，

∴原命題等價于在上恒成立，

令，

則，

令，則在上單調(diào)遞增，

由， ，

∴存在唯一，使， .

∴當時， ， 為增函數(shù)，

當時， ， 為減函數(shù)，

∴時， ，

∴，

又，則，

由，所以.

故整數(shù)的最小值為2.

解法二： 得，

，

令，

，

①時， ， 在上單調(diào)遞減，

∵，∴該情況不成立.

②時，

當時， ， 單調(diào)遞減；

當時， ， 單調(diào)遞增，

∴，

恒成立，

即.

令，顯然為單調(diào)遞減函數(shù).

由，且， ，

∴當時，恒有成立，

故整數(shù)的最小值為2.

綜合①②可得，整數(shù)的最小值為2.