Question

符號[x]表示不超過x的最大整數，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數f（x）=x-[x]，則  下列命題：
①函數f（x）的定義域為R，值域為[0，1]； 
②方程f（x）=

1

x

有無數多個解；
③函數f（x）是周期函數；
④函數f（x）是增函數．
其中正確的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：①求出函數{x}的取值范圍，即可得出函數的值域；
②令{x}=x-[x]=

1

2

，求出對應x的值，有無數多個；
③根據周期函數的定義，判斷函數{x}是周期函數；
④根據函數{x}的性質以及單調性的定義，判斷該函數在整個定義域上無單調性．

解答： 解：①當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），∴①錯誤；
②當x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②正確；
③∵函數{x}的定義域為R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴③正確；
④∵函數{x}是周期為1的函數，∴函數{x}不是單調函數，∴④錯誤．
故選：B．

點評：本題考查了分段函數與函數值域的應用問題，也考查了新定義的函數{x}=x-[x]的意義，是綜合性題目．