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如圖，A和B兩廠與一條河的距離(看作一條直線)分別為400 m和100 m，兩廠之間距離為500 m，現在小河邊上建一座供水站，供A，B兩廠用水．要使供水站到A，B兩廠鋪設的水管長度之和最短，問供水站應建在什么地方？

答案：
解析：

　　分析：本題可歸結為對稱問題，作點A關于河所在直線的對稱點，連接B交l于點P，則有|P|＋|PB|＝|PA|＋|PB|，易知點P即為所求．

　　解：如圖，以河所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸建立平面直角坐標系，則有A(0，400)，AB＝500．過點B作BC⊥AO于C，則OC＝100．

　　在Rt△ABC中，AC＝400－100＝300，

　　由勾股定理得BC＝400，所以點B的坐標為(400，100)．

　　因為點A(0，400)關于x軸的對稱點的坐標為(0，－400)，

　　由兩點式得B所在直線的方程為y＝x－400．

　　令y＝0，得x＝320，

　　故B所在直線與x軸的交點P的坐標為(320，0)．

　　所以供水站建在正向距O點320m處，到A，B兩廠鋪設的水管長度之和最短．

　　點評：本題若求點P(x，0)到點A，B距離和|PA|＋|PB|＝＋的最小值，運算量很大．由此可見，利用問題的已知條件，建立恰當的直線模型求解可以簡化運算過程．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，兩個工廠A，B相距2km，點O為AB的中點，現要在以O為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB．據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為xkm．
（Ⅰ）求“總噪音影響度”y關于x的函數關系，并求出該函數的定義域；
（Ⅱ）當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，兩個工廠A，B（視為兩個點）相距2km，現要在以A，B為焦點，長軸長為4km的橢圓上某一點P處建一幢辦公樓．據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數是1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數是4．辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP=xkm．
（I）求“總噪音影響度”y關于x的函數關系式；
（II）當AP為多少時，“總噪音影響度”最��？（結果保留一位小數）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，兩個工廠A，B相距2km，點O為AB的中點，現要在以O為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB．據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為xkm．
（Ⅰ）求“總噪音影響度”y關于x的函數關系，并求出該函數的定義域；
（Ⅱ）當AP為多少時，“總噪音影響度”最��？

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，兩個工廠A，B相距2 km，點O為AB的中點，現要在以O為圓心，2 km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB.據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為x km.

(1)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系，并求出該函數的定義域；

(2)當AP為多少時，“總噪音影響度”最��？

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