Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（） 經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線于x軸交于點(diǎn)M，且F為線段AM的中點(diǎn)，

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)P（P在x軸上方），直線PF與橢圓C相交于另一點(diǎn)Q，且直線l與OQ垂直，求直線PQ的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而．，由點(diǎn)在橢圓上，得到，再由，得到，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)直線的方程為：，，代入橢圓方程，得，由，得，，推導(dǎo)出直線的方程為：，由，得直線的方程為：，兩直線聯(lián)立解得：，，再由在橢圓上，能求出直線的斜率．

解：（1）因?yàn)?/span>，，，且為的中點(diǎn)，

所以，則．

即，所以．

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，則，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意直線的斜率必存在且大于0，

設(shè)直線的方程為：，

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：，

因?yàn)?/span>，

得，，

當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，此時(shí)不符合題意．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為：，

兩直線聯(lián)立解得：，，因?yàn)?/span>在橢圓上，

所以，化簡(jiǎn)得：，即，

因?yàn)?/span>，所以，

此時(shí)．

直線的斜率為．