Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)的取值不同進行分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性求出在上的最小值，再對進行求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出在上的最大值，計算的值，然后分類討論，結(jié)合已知以及絕對值的意義進行求解即可；

（3）要證，由（1）知由得；

只要證明即可，根據(jù)方程根的性質(zhì)，求出的表達式，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

（1）（）

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由得；

由得，函數(shù)在上遞增，在上遞減

（2）當(dāng)時，，

令得（舍去），

當(dāng)時，，

①當(dāng)時，則顯然成立，即

②當(dāng)時，則，即，

綜上.

（3）要證，由（1）知由得；

只要證明即可

∵是方程的兩個不等實根，不妨設(shè)

∴，

∴，

即，∴

即證

即證，

設(shè)

令，

則在上單調(diào)遞增，恒成立，得證.