Question

定義在R上的f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²+x-1
（1）求f（x）的表達(dá)式
（2）證明：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對稱性即可求f（x）的表達(dá)式
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在這間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
若x（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²+x-1，
∴f（-x）=x²-x-1，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=x²-x-1=-f（x），
故此時(shí)f（x）=-x²+x+1，
即f（x）=

x2+x-1， x＞0 0， x=0 -x2+x+1， x＜0

．
（2）證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²+x₁-1-（x₂²+x₂-1）=x₁²-x₂²+x₁-x₂=（x₁-x₂）（x₁+x₂+1），
∵x₁＞x₂＞0，
∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0
f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及函數(shù)解析式的求解，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．