設(shè)S(x)=(x-x12+(x-x22+…+(x-xn2,其中x1,x2,x3,…,xn均為已知常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)x取何值時,S(x)取得極小值;
(Ⅱ)已知當(dāng)n=2時,S(x)≥
1
2
恒成立,且f(x)=a(x-1)+(x2-x)ex當(dāng)f(|x1-x2|)≥0恒成立時,求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)根據(jù)求導(dǎo)公式求出S′(x),求出臨界點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)取極小值時對應(yīng)的x;
(Ⅱ)把n=2代入S(x)≥
1
2
化簡得:當(dāng)|x1-x2|≥1時,f(|x1-x2|)≥0恒成立,再轉(zhuǎn)化為:即x≥1時,f(x)≥0恒成立,求出f′(x)并構(gòu)造函數(shù)h(x)=f′(x),求h′(x)判斷函數(shù)f′(x)單調(diào)性,求出函數(shù)f′(x)的最小值,再對a進(jìn)行分類討論,分別求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性和最小值,驗證恒成立即可.
解答: 解:(Ⅰ)∵S(x)=(x-x12+(x-x22+…+(x-xn2,
∴S′(x)=2[nx-(x1+x2+…+xn),
令S′(x)=0,則x=
1
n
n
i=1
xi
,
∴函數(shù)在(-∞,
1
n
n
i=1
xi
)上單調(diào)遞減,在(
1
n
n
i=1
xi
,+∞)上單調(diào)遞增,
則當(dāng)x=
1
n
n
i=1
xi
時,S(x)取得極小值;
(Ⅱ)∵當(dāng)n=2時,S(x)≥
1
2
恒成立,
∴S(
x1+x2
2
))=(
x1+x2
2
-x12+(
x1+x2
2
-x22
1
2
恒成立,
化簡得(x1-x22≥1,即|x1-x2|≥1,
由f(x)=a(x-1)+(x2-x)ex得,f(|x1-x2|)≥0恒成立,
即x≥1時,f(x)≥0恒成立,
∵f(x)=a(x-1)+(x2-x)ex
∴f′(x)=a+(x2+x-1)ex,
令h(x)=f′(x),則h′(x)=ex(x2+3x),
∴x≥1時,恒有h′(x)>0,
∴h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,則h(x)=f′(x)≥f′(1)=a+e,
①當(dāng)a≥-e時,則f′(1)=a+e≥0,即h(x)=f′(x)≥0,
∴f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,則f(x)≥f(1)=0恒成立,符合條件;
②當(dāng)a<-e時,令h(x0)=f′(x0)=0,且x0>1,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,x0)上單調(diào)遞減,f(x)≤f(1)=0不符合條件,
綜上得,a的取值范圍是[-e,+∞).
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值關(guān)系,以及函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決,導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的常用方法,要熟練掌握.
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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),A1、A2、B1、B2分別是其左、右、上、下頂點(diǎn),直線B1F2交直線B2A2于P點(diǎn),若∠B1PA2為直角,則此橢圓的離心率為(  )
A、
2
-1
2
B、
5
-1
2
C、
2
2
D、
3
2

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計算:(1)2
3
×
31.5
×
612

(2)7
33
-3
324
-6
3
1
9
+
43
33

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AE
A1A
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(2)證明:f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).

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