Question

設關于x的一元二次方程x²+2ax+4-b²=0．
（1）如果a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2}，求方程有實根的概率；
（2）如果a∈[0，3]，b∈[0，2]，求方程有實根的概率；
（3）由（2），并結合課本“撒豆子”試驗，請你設計一個估算圓周率π的實驗，并給出計算公式．

Answer 1

分析：（1）由于a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2}，則基本事件總數為3X4=12種，其中滿足條件方程有實根，即△≥0，即a²+b²≥4共有8種，代入古典概型公式，即可得到答案．
（2）由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，則基本事件對應的平面區(qū)域面積為3X2=6，其中滿足條件方程有實根，即△≥0，即a²+b²≥4的平面區(qū)域面積為6-π，代入幾何概型公式，即可得到答案．
（3）根據（2）中結論，我們易根據頻率≈概率的原則，得到當n很大時，比值

n

m

，即頻率應接近于概率P，于是有P≈

m

n

．進而結合（2）的答案，得到結論．

解答：（本小題滿分15分）
解：由方程有實根，則△≥0，得，a²+b²≥4
（1）記“方程有實根”為事件A，則P(A)=

8

12

=

2

3

．
答：方程有實根的概率為

2

3

．…（5分）
（2）記“方程有實根”為事件B，則．
答：方程有實根的概率為1-

π

6

．…（10分）
（3）向矩形內撒n顆豆子，其中
落在

1

4

圓內的豆子數為m，由（2）
知，豆子落入

1

4

圓內的概率P=

π

6

，
那么，當n很大時，比值

n

m

，即頻率應接近于概率P，于是有P≈

m

n

．
由此得到π≈

6n

m

…（15分）

點評：本題考查的知識點是幾何概型與古典概型，根據已知條件計算全部基本事件的個數（幾何量）和滿足條件的基本事件的個數（幾何量）是解答概率問題的關鍵．（1）（2）中沒有結論或假設共扣（2分），（3）中意思表述基本清楚即給全分，也可以直接利用（2）的結論推出公式，公式錯誤扣（2分）．