Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，求k 的值；

（2）求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，4]上的最大值；

（3）若方程f(x)=0 有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，其最大值為；當(dāng)時(shí)，其最大值為0．

（3）．

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可求出k 的值；

（2）根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，將函數(shù)寫(xiě)成分段式，即可知函數(shù)的最大值等于，討論即得；

（3）顯然，可知是方程的一個(gè)根，因?yàn)榉匠?/span>f(x)=0 有且僅有一個(gè)根，故當(dāng)時(shí)．方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)且定義域?yàn)?/span>，所以，令，

即，解得，檢驗(yàn)符合題意．故．

（2）當(dāng)時(shí)，，可知由兩段拋物線的一部分組成，因?yàn)檫@兩個(gè)拋物線的開(kāi)口均向上，所以其最大值為，

，，，顯然，

當(dāng)時(shí)，其最大值為；當(dāng)時(shí)，其最大值為0．

（3）因?yàn)?/span>是方程的一個(gè)根，方程有且僅有一個(gè)根，所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，且當(dāng)時(shí)，無(wú)解，

故且，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是．