Question

數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（為常數(shù)，）.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值.

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列滿足：可以從中取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?，，

        所以 ，.

        因?yàn)?，

        所以 ，即.         

所以 .

所以 數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.

所以 .                  

（Ⅱ）若數(shù)列是等比數(shù)列，則.

     由（Ⅰ）可得：.                    

     解得：.

     當(dāng)時(shí)，由得：.

    顯然，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列.

    所以 .                                              

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知：.

    所以 ，即數(shù)列就是一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列.

    所以 當(dāng)時(shí)，可以得到滿足題意的等差數(shù)列.

    當(dāng)時(shí)，因?yàn)? ，，即，

    所以 數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

    所以 .

下面用反證法證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中不能取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)次序排列而成等差數(shù)列.

假設(shè)存在，從數(shù)列中可以取得滿足題意的無(wú)窮等差數(shù)列，不妨記為. 設(shè)數(shù)列的公差為.

①當(dāng)時(shí)，.

所以 數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞減數(shù)列.

所以 .

因?yàn)?，

所以 當(dāng)時(shí)，，這與矛盾.

②當(dāng)時(shí)，令，解得：.

所以 當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以 數(shù)列必然是各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列.

所以 .

因?yàn)?，

所以 當(dāng)時(shí)，，這與矛盾.

綜上所述，是唯一滿足條件的的值.