Question

如果關(guān)于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0無(wú)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)和0的大小關(guān)系分情況討論；再在每一種情況下找到滿足要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍；最后綜合即可．（注意不等式ax²-4|x+1|+2a＜0無(wú)實(shí)數(shù)根即解集為空集等價(jià)于所有的函數(shù)值都大于等于0，即最小值大于等于0）．

解答： 解：當(dāng)a=0時(shí)，-4|x+1|＜0的解集不是空集；這種情況舍去．
當(dāng)a＜0，因?yàn)殚_(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象是向下無(wú)限延伸的，
所以ax²-|x+1|+2a＜0的解集不可能為空集．這種情況舍去．
當(dāng)a＞0，
當(dāng)x≤-1時(shí)，不等式ax²-4|x+1|+2a＜0即為ax²+4x+2a+4＜0，
對(duì)稱(chēng)軸為x=-

2

a

＞0，
∵關(guān)于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0無(wú)實(shí)數(shù)根，即解集為空集，
設(shè)f（x）=ax²-4|x+1|+2a，
∴f（x）_min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a＞0；
當(dāng)x＞-1時(shí)，不等式ax²-4|x+1|+2a＜0為ax²-4x+2a-4＜0，
對(duì)稱(chēng)軸為x=

2

a

＞0，
∵關(guān)于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（x）_min=f（

2

a

）≥0⇒2a²-4a-4≥0⇒a≥1+

3

，或a≤1-

3

．
∴a≥1+

3

．
綜上得：a≥1+

3

．
故答案為：[1+

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)解不等式，此題是一元二次不等式解法中的難題，易因?yàn)榉诸?lèi)不清與分類(lèi)有遺漏導(dǎo)致解題失敗，解答此類(lèi)題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，避免考慮不完善出錯(cuò)．