Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

x2

，g（x）=(

1

2

)x-m，若?x₁∈[1，3]，對(duì)?x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)屬m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：?x₁∈[1，3]，對(duì)?x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等價(jià)于f（x）_max≥g（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得f（x）的最大值；根據(jù)g（x）的單調(diào)性可求得g（x）的最小值．

解答： 解：?x₁∈[1，3]，對(duì)?x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等價(jià)于f（x）_max≥g（x）_min，
∵f（x）=

x-1

x2

=

1

x

-

1

x2

，
∴f′（x）=-

1

x2

+

2

x3

=

2-x

x3

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，2]上遞增，
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（2，3]上遞減，
∴f（x）_max=f（2）=

1

4

，
由g（x）=(

1

2

)x-m在[-1，1]上遞減，得g（x）_min=g（1）=

1

2

-m，
∴

1

4

≥

1

2

-m，
解得m≥

1

4

，
故答案為：[

1

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法，屬于中檔題