已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-
y2
15
=1的兩個焦點，以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓E的離心率等于
4
5
，點P（m，n）在橢圓E上運動，線段F1F2是圓M的直徑         
（1）求橢圓E的方程；               
（2）求證：直線mx+ny=1與圓M相交，并且直線mx+ny=1截圓M所得弦長的取值范圍為[
2
143
3
，
2
399
5
]．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）求出雙曲線的焦點，可得橢圓的c=4，由離心率的計算公式可得a，進而得到b，從而得到橢圓方程；
（2）求出圓M的方程，運用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，判斷小于半徑，再由弦長公式，結(jié)合橢圓的參數(shù)方程，可得d的范圍，進而得到弦長范圍．
解答： （1）解：雙曲線x2-
y2
15
=1的兩個焦點為F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），
則橢圓的c=4，
橢圓E的離心率等于
4
5
，即
c
a
=
4
5
，即有a=5，b=
52-42
=3，
則橢圓E的方程為
x2
25
+
y2
9
=1；
（2）證明：圓M的圓心M為（0，0），半徑為4，
則圓M：x2+y2=16，
M到直線mx+ny=1的距離為d=
1
m2+n2
，
由于P在橢圓上，則可設(shè)m=5cosα，n=3sinα，
由m2+n2=25cos2α+9sin2α=16cos2α+9∈[9，25]，
則d∈[
1
5
，
1
3
]，則d＜r，直線和圓相交；
弦長a=2
r2-d2
=2
16-d2
，
則有a∈[
2
143
3
，
2
399
5
]．
故直線mx+ny=1截圓M所得弦長的取值范圍為[
2
143
3
，
2
399
5
]．
點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長公式的運用，考查橢圓參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x-1
x2
，g（x）=(
1
2
)x-m，若?x1∈[1，3]，對?x2∈[-1，1]都有f（x1）≥g（x2），則實屬m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
lnx+2(x＞0)
2x+1(x≤0)
的零點個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知AB⊥AC，AB=3，AC=
3
，圓A是以A為圓心半徑為1的圓，圓B是以B為圓心的圓．設(shè)點P，Q分別為圓A，圓B上的動點，且
AP
=
1
2
BQ
，則
CP
•
CQ
的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-4lnx，a∈R．
（1）當a=
1
2
時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）論f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系中，O是原點，A（
1
2
，
3
2
），將點A繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點，則B點坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（
3
，sin（x-
π
12
）），
b
=（sin（2x-
π
6
），2sin（x-
π
12
）），定義函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）令φ（x）=f（x+
π
4
），試畫出函數(shù)φ（x）在[0，π]這個周期內(nèi)的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α∈（-
π
2
，0），cosα=
3
5
，則tanα等于（　�。�
A、-
4
3
B、-
3
4
C、
4
3
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

知動點P（a，b）在區(qū)域
2x-y-4≤0
x-y≥0
y≥0
上運動．
（Ⅰ）若w=
a+b-3
a-1
，求w的范圍
（Ⅱ）求覆蓋此區(qū)域的面積最小的圓的方程．

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